Det er relativt let at få konstant lyshastighed som konstant af naturen fra galilæisk ækvivalens af inertiale observatører (GP) -princippet.
GP siger, at to observatører, der bevæger sig med (enhver) konstant hastighed relativt til hinanden, er ækvivalente, dvs. de beskriver begge den fysiske virkelighed på samme måde.
Især betyder det, at de deler de samme kinematikprincipper, og at de bruger isomorfe koordinatrammer. Det er, hvis observatør O har dette koordinatsystem $ (t, x) $, og observatør O 'har $ (t', x ') $, de er beslægtede. Hvis vi betragter det enkleste forhold, lineær afhængighed, beskrives det af følgende ligninger, der er gyldige for observatør O ':
$$ x '= ved + bx $$
$$ t '= ct + dx $$
Da observatør O er ækvivalent med observatør O ', og fysisk virkelighed observeret fra koordinatramme O er nøjagtig den samme, de samme forhold skal være gyldige for observatør O :
$$ x = ved '+ bx' $$
$$ t = ct '+ dx' $$
Vær opmærksom på, at de samme koefficienter a, b, c, d bruges!
Hvis O og O 'har synkroniserede ure, kan vi kombinere begge beskrivelser og forsøge at opnå yderligere krav til koefficienter a, b, c, d, som beskrevet (på polsk) her. Antag at O og O 'bevæger sig med relativ hastighed V.
Vi skal definere (ukendt) funktion d (V)
$$ x = d (x '+ Vt') $$
$$ t = d (t '+ x' V \ frac {1-d ^ {- 2}} {V ^ 2}) $$
Hvis vi antager, at der er tredje observatør O '', der bevæger sig med hastighed U relativt til observatør O ', kan vi spørge, hvad er hendes hastighed for observatør O? Ved hjælp af ovenstående formler opnår vi følgende resultat:
$$ O ("U + V") = \ frac {U + V} {1 + UV \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2}} $$
Hvis vi indstiller $ d (V) = 1 $, får vi den gililenske fysik gendannet. Men der er intet argument for at gøre dette!
Vi brugte observatør O som basis, og observatør O 'bevæger sig med hastighed V relativt til det. En anden observatør O '' bevægede sig med hastigheden U relativt til O ', og vi opnår relateret hastighed af O' 'gyldig for observatøren O. Hastighed U var hastigheden af O' 'i ramme O', som blev "trukket" for ramme O 'wirth "dragehastighed" af V.
Hvad hvis vi ville starte med observatør O '' og beregne det samme? Da O og O 'er ækvivalente, er den eneste forskel, at "trækhastighed" denne gang vil være U, mens en anden, V ville være relativt til O'. Med andre ord udveksler U og V sin rolle. Det betyder, at den relative hastighed $ O ("U + V") $ og $ O '' ("V + U") $ skal være den samme! Observatører er ækvivalente, husk!
Så vi kan skrive:
$$ \ frac {U + V} {1 + UV \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2}} = \ frac {V + U} {1 + VU \ frac {1 + d ^ {- 2} (U)} {U ^ 2}} $$
Efter omarrangering af termer opnår vi følgende formel:
$$ \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2} = \ frac {1 + d ^ {- 2} (U)} {U ^ 2} $$
Der er kun en måde at udføre følgende ligning på: $ f (x) = f (y) $. $ f (x) $ skal være konstant! Så hele fraktionen.
Vi opnår det endelige resultat:
$$ \ frac {1 + d ^ {- 2} (V)} {V ^ 2} = C $$
hvor fra dimensionel analyse cames at konstant C har dimension 1 / hastighed ^ 2. Det skal være universelt konstant under forudsætning af gyldigheden af GP, og streng galilensk fysik genoprettes, når C er lig med 0.
Funktion $ d (V) $ er som følger:
$$ d (V) = \ frac {1} {\ sqrt {(1-CV ^ 2)}} $$
På denne måde opnår vi Lorentz-transformationer forudsat GP og følger generelle regler med lineært forhold mellem tre inertiale observatører.
Hvis vi vil vide værdien af (ukendt endnu) konstant C, skal vi udføre forskellige eksperimenter. Men vi bemærker måske, at Lorenz-transformationer efterlader Maxwell-ligninger uændrede, og det giver os sammenhæng mellem vores konstante C og lysets hastighed i vakuum:
$$ C = \ frac {1} {c ^ 2} $$
Ovenstående begrundelse blev udført (og offentliggjort i 60'erne) af den polske fysiker Andrzej Szymacha.