Som @Marek har sagt ovenfor, er det elektriske felt $ E $ det grundlæggende felt og er på en eller anden måde jo mere fysisk. Imidlertid har Maxwells ligninger en pænere geometrisk betydning, hvis du kaster i "hjælpefelterne" $ D $ (og $ H $ for $ B $). Jeg fortæller normalt mine elever følgende version af elektromagnetisme:

Der er 4 felter i elektromagnetisme. Vi kalder dem $ E $, $ D $, $ B $ og $ H $. Alle disse felter er uafhængige og lige så vigtige. Desuden indeholder de faktisk geometriske begreber, som er manifesteret i de integrerede ligninger: $$ \ oint_S D \ cdot dS = Q (S) $$ $$ \ oint_S B \ cdot dS = 0 $$ $$ \ oint _ {\ partial S} E \ cdot dl + \ partial_t \ int_S B \ cdot dS = 0 $$ $$ \ oint _ {\ partial S} H \ cdot dl - \ partial_t \ int_S D \ cdot dS = \ int_S j \ cdot dS $$

Bemærk at:

1. $ E $ og $ B $ danner et uafhængigt par, ligesom $ D $ og $ H $.
2. $ E $ og $ B $ afhænger ikke af kilderne $ Q $ og $ j $, men $ D $ og $ H $ gør.
3. $ D $ og $ B $ er integreret gennem overflader og repræsenterer flux gennem disse overflader. (Den korrekte matematiske gadget til at beskrive disse er faktisk 2-former. $
4. $ E $ og $ H $ er integreret langs linjer og ender med at repræsentere den potentielle forskel på tværs af enderne (eller cirkulation i en løkke
5. Sidstnævnte par forbinder fluxændringen gennem overflader med visse cirkulationer.

Disse ligninger danner Maxwells ligninger. De bestemmer ikke entydigt en fysisk situation. Især skal de forstærkes med konstitutive relationer som beskriver (makroskopiske) materialegenskaber. For eksempel kan vi have lineære, isotrope, homogene (LIH) medier, i hvilket tilfælde vi ville have $ D = \ epsilon E $ og $ B = \ mu H $. Men generelt kan vi have $ \ epsilon $ og $ \ mu $ som tensorer, der varierer afhængigt af tid og rum, eller endda afhænger af felterne $ E $, $ B $ osv.! Disse konstitutive relationer kunne være vilkårligt komplicerede, og meget af det nye felt for metamaterialteknik handler faktisk om at skabe mikrostrukturer, der ville give interessante og nyttige konstitutive relationer i makroskopisk skala. Mere almindeligt er et scenario, hvor lineariteten bryder sammen, i ferromagneter / ferroelektriker.

Der er normalt en anden konstitutiv relation, der forbinder strøm og elektrisk felt. I LIH medier kaldes dette Ohms lov: $ J = \ sigma E $.

Der er endnu en ligning, som simpelthen altid er sand, hvilket er bevarelse af ladning; i ovenstående notation, $ \ partial_t Q (S) - \ int_S j \ cdot dS = 0 $.

Rediger : nogle yderligere observationer:

I en relativistisk kovariant form kan vi fusionere $ E $ og $ B $ sammen for at få 2-formet $ F $ og $ D $ og $ H $ for at få sin Hodge dobbelt $ \ stjerne F $. Sidstnævnte afhænger generelt af den metric, vi vælger. For lineære materialer er det muligt at skjule virkningerne af materialepolarisering / magnetisering som baggrundsmåling. I øvrigt er energien givet i denne form af $ F \ kile \ stjerne F $, så det er klart, at energi / momentum skal være "modsatrettede" par, dvs. Poyntin-vektoren er $ N = E \ gange H $.

I numeriske simuleringer er det dobbelt så vigtigt, at vi adlyder Maxwells ligninger --- manglende evne til at føre til meget ufysiske ting som superluminal udbredelse af bølger eller manglende evne til at spare energi eller momentum. Det har vist sig, at nøglen er at være nøjagtig med hensyn til ligningernes integrerede former og lægge al diskretiseringsfejl i at ikke opfylde de materielle konstituerende egenskaber.

$ \ mathbf E $ er det grundlæggende felt i Maxwell-ligninger, så det afhænger af alle ladninger. Men materialer har masser af interne afgifter, som du normalt ikke er ligeglad med. Du kan slippe af med dem ved at indføre polarisering $ \ mathbf P $ (som er materialets svar på den anvendte $ \ mathbf E $ felt). Derefter kan du trække effekten af ​​interne afgifter, og du får ligninger kun for gratis afgifter. Disse ligninger vil ligne de originale Maxwell-ligninger, men med $ \ mathbf E $ erstattet af $ \ mathbf D $ span> og afgifter ved kun gratis afgifter. Lignende argumenter holder for strømme og magnetfelter.

Med dette i tankerne ser du, at du skal tage $ \ mathbf D $ i dit eksempel, fordi $ \ mathbf E $ også er følsom over for de polariserede ladninger inde i mediet (som du ikke ved noget om). Så $ \ mathbf E $ feltet indeni vil være $ \ varepsilon $ gange det for lederen i vakuum .

Det elektriske felt $ \ mathbf E $ er det grundlæggende. I princippet har du ikke brug for det elektriske forskydningsfelt $ \ mathbf D $, alt kan udtrykkes i form af feltet $ \ mathbf E $ alene.

Dette fungerer godt for vakuumet. For at beskrive elektromagnetiske felter i stof er det praktisk at introducere et andet felt $ \ mathbf D $. Maxwells originale ligninger er stadig gyldige, men når det gælder materiel, skal du håndtere yderligere ladninger og strømme, der induceres af det elektriske felt, og som også inducerer yderligere elektriske felter. (Mere præcist foretager man normalt den tilnærmelse, at det elektriske felt inducerer små dipoler, som er beskrevet af elektrisk polarisering $ \ mathbf P $.) En lille smule beregning viser, at du nemt kan skjule disse yderligere gebyrer ved at indføre det elektriske forskydningsfelt $ \ mathbf D $, som derefter opfylder ligningen

$$ \ nabla · \ mathbf D = \ rho_ \ text {free}. $$

Pointen er, at denne ligning kun involverer den "eksterne" ("gratis") ladetæthed $ \ rho_ \ text {free} $. Afgifter, der akkumuleres inde i stofblokken, er allerede taget i betragtning ved introduktionen af ​​$ \ mathbf D $ -feltet.

For at forstå, hvilket felt der er "rigtigt", skal du skrive en ladningsligning af bevægelse. Kraften i det bestemmes med det virkelige felt der. I et medium er det stadig E : $ m \ vec {a} = q \ vec {E} $. I tilfælde af magnetfelt er det $ \ vec {B} $, der bestemmer kraften: $ m \ vec {a} = q \ vec {v} \ times \ vec {B} / c $.

$ D $ er det elektriske forskydningsfelt eller almindeligvis fluxdensiteten og $ E $ er feltintensiteten. Der er en grundlæggende forskel mellem dem, som til en vis grad vil forstås, når du gennemgår følgende svar. Overvej en pointafgift på $ Q $ coulombs. Dette betyder, at antallet af fluxlinjer, der udsendes af afgiften, er $ Q $ coulombs. .

Lad den hypotetiske sfære vist i figuren have en radius $ r $. Derefter gives $ D $ med \ begin {ligning} D = \ frac {Q} {4 \ pi r ^ 2}. \ End {ligning} Det vil sige $ D $ er antallet af fluxlinjer, der passerer pr. Område. For at få en intuitiv forståelse skal du fortolke $ Q $ som et tal (antal fluxlinjer) og $ D $ som en taldensitet (antal fluxlinjer pr. Område). Hvad med $ E? $ $ E $, som er den elektriske feltintensitet, er faktisk en kraft ($ E $ er defineret som kraft pr. Coulomb) pr. Fluxlinie, det vil sige den kraft, der bæres af hver fluxlinie. Så forholdet $ D = \ varepsilon E $ forbinder antallet af fluxlinier, D, med en kraft pr. Fluxlinieterm, $ E $. Nu er permittiviteten $ \ varepsilon $ defineret som evnen til at føre linjer med elektrisk strøm gennem den. Dette er en kvalitativ måde at sige på. Kvantitativt kan det ses som forholdet $ \ frac {D} {E} $, det vil sige $ \ varepsilon $ er antallet af elektriske fluxledninger (enhed er coulomb, som nævnt tidligere), der passerer gennem enhedsareal for enhedskraft / flux (som er enhedens feltintensitet). Det vil sige $ $ varepsilon = 5 $ (denne værdi af $ \ varepsilon $ er hypotetisk og betragtes kun af forklarings skyld) betyder, at der er 5 fluxlinjer i et enhedsareal, der betragtes som normalt for et elektrisk felt med hver fluxlinie bærer $ 1 N $ kraft.