Det er faktisk sandt på en næsten triviel måde. I Ehrenfest-sætningen hedder det, \ begin {ligning} \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \ quad \ frac {d} {dt} \ langle p \ rangle = - \ langle V '(x) \ rangle \ end {ligning} Dog for alle egenfunktioner til den harmoniske oscillator $ \ langle x \ rangle = 0 $ (og derfor $ \ langle V '( x) \ rangle = 0 $ ) og $ \ langle p \ rangle = 0 $ . Så Ehrenfest-sætningen på egenstaterne reduceres til $ 0 = 0 $ .

Du kan se, at den generelle version af Ehrenfest-sætningen fungerer trivielt for alle egenstater. Den siger, at for den vilkårlige observerbare $ A $ opfylder forventningsværdien ligningen, \ begin {ligning} \ frac {d} {dt} \ langle A \ rangle = \ frac {1} {i \ hbar} \ langle [A, H] \ rangle + \ langle \ frac {\ partial A} {\ partial t} \ rangle \ end {ligning} Men på egenstaterne, \ begin {ligning} \ langle \ psi_n | [A, H] | \ psi_n \ rangle = \ langle \ psi_n | AH-HA | \ psi_n \ rangle = E_n \ langle \ psi_n | A-A | \ psi_n \ rangle = 0 \ end {ligning} Så forventningsværdien af ​​det observerbare, der ikke eksplicit afhænger af tid, udvikler sig ikke på egenstaterne, hvilket er, hvad du ville forvente.

Så hvor fører Ehrenfest-sætningen til den klassiske dynamik? Du skal overveje de lokaliserede wavepackets. Det enkleste eksempel ville være den sammenhængende tilstand af den harmoniske oscillator, der er den Gaussiske bølgepakke, der følger den klassiske bane

For den harmoniske oscillator er Ehrenfest-sætningen altid "klassisk", omend kun på en triviel måde (som i tilfælde af egenstaterne).Imidlertid reducerer Ehrenfest-sætningen generelt til den klassiske ligning af bevægelse kun på sådanne lokaliserede bølgepakker, der koncentrerer sig nær den klassiske bane, da $ \ hbar $ går til nul.Nøglepunktet er tilfældigvis udvekslingen $ \ langle V '(x) \ rangle \ mapsto V' (\ langle x \ rangle) $ som i generelle stater kan 't gøres.Så hvis du vil gendanne nogle klassiske dynamikker fra kvanteteorien, se på de lokaliserede bølgepakker.

1. Din version af $ \ psi $ er (jeg er sikker på, du ved) afledt af tidsuafhængig Schrodinger-ligning, $ \ hat {H} \ psi = E \ psi $ . For at finde tidsafhængige løsninger løser vi $$ i \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi = \ hat {H} \ psi. $$ Du forsøgte at løse stationære tilstande, og hele pointen med disse er, at $ | \ psi (x) | ^ 2 $ ikke ændres over tid. Stadig for disse stationære løsninger, $$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left<x \ right> = \ left<p \ right> = 0; \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left<p \ right> = - \ left< \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} V (x) \ right> = 0 , $$ hvilket er i overensstemmelse med Ehrenfest-sætningen (omend uinformativt).

2. Vær forsigtig med tidsafhængigheden af ​​din rapporterede $ \ psi $ : du har faktisk at gøre med $ \ Psi (x, t) = \ psi (x) e ^ {- itE / \ hbar} $ for disse stationære tilstande. Naturligvis vedrører dette ikke Ehrenfest-sætningen, men det er noget, der er værd at nævne: de komplekse og virkelige dele svinger, som vist med de lyserøde og blå linjer i dette diagram (fra wikipedia-siden på QHO):

   Foretag ikke den fejl at antyde, at alle derivater med hensyn til tid nødvendigvis automatisk er lig nul, fordi bølgefunktionen er tidsuafhængig. I modsætning til hvad stenografien antyder, har vi en (adskillelig) tidsafhængig bit.

3. Henvis til det samme diagram, observer del G og H: disse repræsenterer sammenhængende tilstande, som kan forstås ved hjælp af Ehrenfests sætning, fordi $ |\ psi | ^ 2 $ ligner en gaussisk, der følger en klassisk $ \ sin $ eller $ \ cos$ -funktion.

Se

Kanasugi, H. og H. Okada."Systematisk behandling af generel, tidsafhængig harmonisk oscillator i klassisk og kvantemekanik." Progress of Theoretical Physics , bind.93, nr.5, 1995, s. 949-960., Doi: 10.1143 / ptp / 93.5.949.

Det, du skrev ned, er blot et komplet sæt af løsninger fra den tidsuafhængige Schrödinger-ligning. \ begin {align} [- \ frac {\ hbar²} {2m} \ Delta + V (x)] \ Psi (x) = E \ Psi (x) \ end {align} Naturligvis har disse løsninger ingen tidsafhængighed, fordi den tidsuafhængige Schrödinger-ligning (i denne repræsentation) kun fremsætter udsagn om funktioner, der kun afhænger af de geografiske koordinater (i dette tilfælde er dette kun x).

Hvordan kommer man til de tidsafhængige løsninger? En bestemt egenskab ved løsninger $ \ Psi_ {E} $ i den tidsuafhængige Schrödinger ligning er, at $ \ Psi_ { E} (x) e ^ {- i \ frac {E} {\ hbar} t} $ er en løsning på den tidsafhængige Schrödinger-ligning.

Hvis du anvender dette på dit foreslåede sæt løsninger til den harmoniske oscillator, vil du ankomme til tidsafhængige løsninger. DE er dem, som Ehrenfest-sætningen afgiver en erklæring om. Du beregner derefter, at forventningsværdierne $ <X> $ og $ <P> $ ikke ændres. Men du vil lige så godt beregne, at begge disse værdier er 0. Dette er i fuld overensstemmelse med sætningerne i Ehrenfest, og den klassiske analogon ville være en partikel, der hviler på det dybeste sted i det harmoniske potentiale.