Den nemmeste måde at se imaginær tid på er i elementær kvantemekanik i en dimension. (Dette er forklaringen fra wikipedia).

Antag, at vi ser på et tunnel-gennem-en-barriere problem. Vi starter med Schrodinger-ligningen:

$$ - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2 \ psi (x)} {dx ^ 2} + V (x) \ psi (x) = E \ psi (x) $$

Lav ansatz

$$ \ psi (x) = \ psi_0 \ exp (\ frac {i} { \ hbar} S (x)) $$

Så får vi

$$ - \ frac {i \ hbar} {2m} \ frac {d ^ 2S (x)} {dx ^ 2} + \ frac {1} {2m} \ left (\ frac {dS (x)} {dx} \ right) ^ 2 + V (x) -E = 0 $$

som er ikke-lineær. Vi kan gøre fremskridt med en $ \ hbar $ udvidelse

$$ S (x) = S_0 (x) + \ hbar S_1 (x) + \ frac {\ hbar ^ 2} {2} S_2 ( x) + ... $$

Efter lang beregning kan vi beregne forskellige amplituder og udlede ting som barriere tunnelingskoefficient

$$ T = \ exp (\ frac {2} {\ hbar} Im (S)) $$

hvor

$$ Im (S) = \ int_a ^ b | p (x) | dx $$

($ p (x) = \ sqrt {2m (EV)} $) og $ a $ og $ b $ er $ x $ -værdierne, hvor den potentielle funktion er sådan, at $ E<V (x) $. Nu tilbyder Feynman en anden måde at nærme sig dette på, nemlig at amplituden for at komme fra x = a til x = b er bare $$ \ langle x = b | \ exp (\ frac {iHt} {\ hbar}) | x = a \ rangle = \ int \ mathcal {D} [x (t)] \ exp (\ frac {iS [x (t)]} {\ hbar}) \ \ \ (1) $$ hvor integralet er over rummet af klassiske stier $ x (t) $ med de rigtige slutpunkter. Nu er dette, skønt det er meget elegant, ekstremt svært at beregne: det er trods alt et integreret over et uendeligt mellemrum! Det imaginære tidstrick fungerer som følger: Du foretager bare en ændring af variablen $$ t = -i \ tau $$ og derefter handlingen

$$ S (x (t)) = \ int {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ 2-V (x) dt $$

bliver $$ S (x (\ tau)) = i \ int {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {dx} {d \ tau}} \ højre) ^ 2 + V (x) d \ tau $$ så den potentielle energi har byttet tegn i forhold til den kinetiske energi (og vi hentede en samlet i-faktor). Definition af $$ S_E (x (\ tau)) = \ int {(\ frac {1} {2}} m ({\ frac {dx} {d \ tau}}) ^ 2 + V (x)) d \ tau $$, vores stiintegral er nu $$ \ langle x = b | \ exp (\ frac {-H \ tau} {\ hbar}) | x = a \ rangle = \ int \ mathcal {D} [x ( \ tau)] \ exp (\ frac {-S_E [x (\ tau)]} {\ hbar}) \ \ (2) $$ Nu bliver integralet domineret af klassiske stier, der ekstremiserer denne handling. Mens en ekstrem sti, der bidrager til (1), vil kræve imaginær energi for at tunnelere gennem potentialet, der ligner en bakke, for (2) er den potentielle bakke nu en dal, og det tilsvarende ekstreme tilfælde er netop det, som en bold ruller ned den ene side af dalen og op ad den anden. Når du har foretaget din beregning i det euklidiske rum, fortsætter du med at tage det svar, du fik, og rotere tilbage til Minkowski-rummet.

Så meget for mekanik. Du kan gøre det samme trick i feltteori, hvor din stiintegral nu er over klassiske feltkonfigurationer . De ekstreme feltkonfigurationer for det euklidiske rum kaldes instantons . Nu i dit spørgsmål var Hartle og Hawking interesseret i, hvad det ækvivalente for universets indledende forhold er "x = a" i vores enkle eksempel. Ligesom i QM-eksemplet arbejdede de i euklidisk tid og ville have deres ækvivalent til "x = b" til at være et de Sitter-univers. Deres gæt var, at de i stien integreret skulle omfatte alle euklidiske målinger for rum uden grænser. Ligesom vores euklidiske ekstreme stier tilfredsstiller ligningerne af klassisk mekanik i euklidisk tid, så ville metrics inkluderet i kvantekosmologi stien integral tilfredsstille de klassiske euklidiske signatur Einstein ligninger.

Så for at opsummere, er euklidisk tid et smart trick til at få svar på ekstremt dårligt opførte sti-integrerede spørgsmål. Naturligvis i Planck-epoken, hvor den ikke-grænsede sti-integral anvendes, er måske den euklidiske tid den eneste tid, der giver mening. Jeg ved det ikke - jeg tror ikke, der er nogen konsensus om dette.

Jeg vil tilføje til twistor59 svar. Hawking kunne godt lide begrebet imaginær tid $ \ tau = \ mathrm {i} t $ fordi det omdanner en lorentzisk metric

$$ ds ^ 2 = -c ^ 2 dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 $$

i en firedimensionel lignende euklidisk metric

$$ ds ^ 2 = + c ^ 2 d \ tau ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 $$

Hawking og andre mente, at en kvantegravitationsteori kunne udvikles på denne måde. Denne tilgang blev navngivet "integreret tilgang til den euklidiske sti" til kvantegravitation eller simpelthen "euklidisk kvantegravitation". Hawking-synspunkter er opsummeret i J. B. Hartle og S. W. Hawking, "Universets bølgefunktion" Phys. Rev. D 28 (1983) 2960–2975.

Denne gamle fremgangsmåde virker ikke, fordi der opstår mange vanskeligheder og begrænsninger.

Bemærk, at selvom det er imaginære tider nogle gange brugt som et trick til simpelthen nogle matematiske beregninger inden for statistisk mekanik og kvantefeltteori, har de ingen fysisk betydning.

Lad mig bare skitsere en idé for at indføre "imaginær tid".

En foton i et sort hul eller i en singularitet skal forsvinde, det er energi, der skal være 0.

Hvis den foton havde en tidligere eksistens, skal det sorte hul distrahere dens energi:

$ E, A $ eller dens energi $ a + a - = \ left (N + \ frac12 \ right) h \ nu $

Den enkleste måde er at overvej fasefaktoren for feltet $ \ exp ^ i (\ Omega t-Kr) $

Fotonet skal ødelægges i indstillingen:

$ t->i \ tau $, der klemmer faktoren til nul, når $ \ tau \ rightarrow \ infty $.

Dette kan være en idé til, hvilken imaginær tau) tid skal være nyttigt

En anden måde at se på det er at forestille sig, at tiden er en buet dimension, for så vidt det vil være cyklisk. For at visualisere, at forestille sig et plan med to dimensioner, vil den tredje sædvanlige dimension være en vinkelret linje til dette plan. Overvej nu denne linje for at være bøjet i en cirkel, så denne dimension vil gå rundt og rundt, for den mening vil den have maksimal værdi, hvorefter du kommer tilbage. Til information kaldes fremgangsmåde komprimering, og hvis du er bekendt med komplekse tal, husk at rent imaginært eksponentielt er cyklisk.