$ \ delta '$ er den ladningstæthed, der genererer en dipol. Det vil sige ladningstætheden for to nærliggende punktladninger af samme og modsatte størrelse i grænsen, når de kommer tættere og tættere på hinanden.

Forestil dig at tilnærme delta-funktionen med en jævn bump-funktion, og den bliver klart, hvad der foregår.

Tag denne $ \ delta '(x) $ og anvend i en vilkårlig funktion $ f (x) $.

$$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta' (x) f (x) \ \ mathrm {d} x = f (x) \ delta (x) | _ {a} ^ {b} - \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x) f '(x) \ \ mathrm {d} x = -f '(0) $$

Derefter $ \ delta' (x) \ rightarrow - \ delta (x) \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} $.

Den fysiske betydning af et potentiale, der ligner Delta-funktionen, er et potentiale, der kun virker nær oprindelsen $ x = 0 $, og langs resten af ​​aksen er partiklen fri . Jeg så sådanne potentielle barrierer, der blev brugt i kernefysik.

Et potentiale som derivatet af Delta-funktionen, $ \ delta '(x) $ er en tilnærmelse af et potentiale, der langs hele $ x $ aksen er nul , og kun nær oprindelsen viser den en meget tynd, men uendelig høj potentiel barriere efterfulgt af en meget dyb potentiale-brønd . Mere end det skulle din bog forklare, hvorfor denne formular var praktisk for dem. Om behandlingen af ​​dette potentiale vil integration af dele eller Fourier-transformationer hjælpe dig med at slippe af med disse ubehagelige funktioner. Man kan f.eks. Arbejde i den lineære momentumrepræsentation.

For (de fleste) fysiske formål kan du sikkert tænke på Dirac delta-funktionen $ \ delta (x-x_0) $ som en funktion, der ikke kun forsvinder omkring $ x_0 $, og med egenskaben, at dens integral er normaliseret til en : $$ \ tag {1} \ int dx \, \ delta (x) = 1. $$ Med dette mener jeg, at du kan tænke på deltaet som en korrekt funktion, der tilfredsstiller (1) og forsvinder ikke kun i et meget smalt $ ^ \ dolk $ interval omkring $ x_0 $.

Så i betragtning af denne visning, hvad er $ \ delta '(x) $ ? Intet andet end det "sædvanlige" derivat af den funktion $ \ delta (x) $ er. Og dette er det afgørende punkt: vi ved ikke, hvordan $ \ delta $ virkelig ser ud bortset fra lokaliseringen og den integrerede egenskab, så selvom der ikke er noget problem at definere dets afledte, vi ved ikke, hvordan det ser ud .

Så hvordan kan vi bruge det? Nå viser det sig (som vist i det andet svar), at når $ \ delta '(x) $ vises i en integral med en anden funktion, kan vi "overføre" (integrere med dele) afledningen til den anden funktion og sikkert fortsætte med beregningen.

$ ^ \ dolk $ betyder mindre end alle de andre fysiske størrelser, der er involveret i den givne beregning

$ \ delta '(x) $ er en skala-uforanderlig barriere , hvor S-matrix og faseskift ikke afhænger af momentum.

En nylig afslørende artikel er Punktinteraktioner: randbetingelser eller potentialer med Dirac delta-funktionen (De Vincenzo - Sánchez) Canadian Journal of Physics 10/2010; 88 (11): 809-815. DOI: 10.1139 / P10-060 En anden interessant reference kan være http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406158, hvor det hævdes, at parametriseringen har noget måle frihed.

Men hvis du ønsker en fortolkning, så argumenterer jeg for at se på det som et skala-invariant objekt. Punktet med at blive understøttet i et enkelt punkt indebærer allerede nogle underholdende egenskaber under skalering, da det skal kortlægges mod en anden interaktion med støtte i et punkt, så du kan gætte, at alle familier vil gøre for pæne faste punkter og renormaliseringslinjer i potentialerummet med kompakt support. Desuden kan $ \ delta '$ potentialet -one- argumenteres for at have dimensioner af invers længde i kvadrat, det samme som det kinetiske udtryk, og så en vis invarians af hele Hamilton under skalering $ x \ til \ lambda x $ kan være forventet.

Hvis du anvender formlerne for den første henvisning til $ V (x) = g_2 \ \ delta '(x) $, får du betingelser

$$ u (0 ^ +) = \ mu \ u (0 ^ -), \ \ \ mu \, u '(0 ^ +) = u' (0 ^ -) $$

der gør det muligt at løse for $ S $ -matrix, eller hvis du foretrækker koefficienten Transmision og Reflection. Nu for eksempel for den venstre bølge vil vi have i $ 0 ^ - $ summen af ​​hændelsen og reflekteret: $$ u_k (0 ^ -) = e ^ {ikx} + e ^ {- ikx} R ^ l = (1 + R ^ l) $$ og dets afledte $$ u'_k (0 ^ -) = ik (e ^ {ikx} - e ^ {- ikx} R ^ l) = ik (1 - R ^ l) $$ og på samme måde i $ 0 ^ + $ den transmitterede bølge $$ u_k (0 ^ +) = e ^ {ikt} T ^ l = T ^ l, \ u'_k (0 ^ +) = ik e ^ {ikt} T ^ l = ik T ^ l $$

så du ser magien ved denne særlige randbetingelse: $ ik $ -faktorerne kan annullere, og transmission- og reflektionskoefficienterne afhænger ikke af $ k $

$$ \ mu T ^ l = (1-R ^ l), T ^ l = \ mu (1 + R ^ l) $$

En moderne reference, der relaterer delta-derivater til spredning, er http://iopscience.iop.org/0305-4470/36/27/311 "Om eksistensen af ​​resonanser i transmissionens sandsynlighed for interaktioner stammer fra derivater af Diracs delta-funktion "