$ \ newcommand {\ t} {[\ text {time}]} \ newcommand {\ e} {[\ text {energy}]} \ newcommand {\ a} {[\ text {angle}]} \ ny kommando {\ l} {[\ text {længde}]} \ ny kommando {\ d} [1] {\; \ mathrm {d} # 1} $ Dimensioner vs enheder :

Jeg ønsker at tage et pædagogisk gæt om, hvorfor vinkler betragtes som dimensionelle, mens jeg laver en dimensionel analyse. Før du gør det, skal du bemærke, at vinklerne har enheder. De er bare dimensionsløse. Definitionen af ​​måleenheden er som følger:

En måleenhed er en bestemt størrelse af en fysisk størrelse, defineret og vedtaget ved konvention eller ved lov, der bruges som standard for måling af den samme fysiske størrelse.

Der er faktisk mange enheder til måling af vinkler såsom radianer, vinkler, minutbue, sekundbue osv. Du kan se på denne wikipedia-side for at få flere oplysninger om vinkelenheder.

Objektets dimension er en abstrakt størrelse, og den er uafhængig af, hvordan du måler denne størrelse. For eksempel er kraftenhederne Newton, som simpelthen er $ kg \ cdot m / s ^ 2 $. Kraftens dimensioner er dog

$$ [F] = [\ text {masse}] \ frac {[\ text {længde}]} {\ t ^ 2} $$

undertiden betegnet som

$$ [F] = [M] \ frac {[X]} {[T] ^ 2} $$

men jeg holder mig til den første konvention. Forskellen mellem enheder og dimensioner er grundlæggende, at dimensionerne på en mængde er unikke og definerer, hvad denne størrelse er. Dog kan enhederne i den samme mængde være forskellige f.eks. kraftenhederne kan perfekt være $ ounce \ cdot inch / ms ^ 2 $.

Vinkler som dimensionsløse mængder

Hvorfor vi gerne betragte vinkler som dimensionsløse størrelser, vil jeg give eksempler og overveje konsekvenserne af vinkler, der har dimensioner:

Som du ved, er vinkelfrekvensen angivet af

$$ \ omega = \ frac {2 \ pi} T \;, $$

hvor $ T $ er svingningsperioden. Lad os lave en dimensionel analyse, som om vinkler havde dimensioner. Jeg angiver dimensionen af ​​en mængde med firkantede parenteser $ [\ cdot] $ som jeg gjorde ovenfor.

$$ [\ omega] \ overset {\ text {per definition}} {=} \ frac {[\ text {angle}]} {[\ text {time}]} $$

Ved at bruge formlen ovenfor har vi dog

$$ [\ omega] = \ frac {[2 \ pi]} {[T]} = \ frac {1} {[\ text {time}]} \; , \ tag 1 $$

da en konstant anses for at være dimensioneløs, kasserede jeg $ 2 \ pi $ -faktoren.

Dette er en noget ulempe i forestillingen om dimensional analyse. På den ene side har vi $ [\ text {angle}] / \ t $, på den anden side har vi kun $ 1 / \ t $. Du kan sige, at $ 2 \ pi $ repræsenterer vinkeldimensionerne, så hvad jeg gjorde i ligningen (1), dvs. at kassere den konstante $ 2 \ pi $ som et dimensionsløst tal er simpelthen forkert. Historien slutter dog ikke her. Der er nogle faktorer på $ 2 \ pi $, der vises for meget i ligninger, som vi definerer en ny konstant, f.eks. den reducerede planks konstant, defineret af

$$ \ hbar \ equiv \ frac {h} {2 \ pi} \; , $$

hvor $ h $ er plankens konstant. Plankens konstant har dimensioner $ \ text {energy} \ cdot \ t $. Hvis du nu siger, at $ 2 \ pi $ har dimensioner af vinkler, ville dette også indikere, at den reducerede Planks konstant har enheder på $ \ e \ cdot \ t / \ a $, hvilket er tæt på vrøvl, da det kun er et spørgsmål af bekvemmelighed, at vi skriver $ \ hbar $ i stedet for $ h / 2 \ pi $, ikke fordi det har noget at gøre med vinkler, som det var tilfældet med vinkel frekvens.

For at opsummere :

• Dimensioner og enheder er ikke de samme. Dimensioner er unikke og fortæller dig, hvad denne mængde er, mens enheder fortæller dig, hvordan du har målt den bestemte mængde.

• Hvis vinklen havde dimensioner, skulle vi tildele et tal, som hverken har en enhed eller en dimension, en dimension, hvilket ikke er, hvad vi gerne vil gøre, fordi det kan føre til misforståelser, da det var tilfældet med $ \ hbar $.

Rediger efter kommentarer / diskussion i chat med Rex

Hvis du ikke købte ovenstående fremgangsmåde eller find det lidt cirkulært, her er en bedre tilgang: Vinkler er ubehagelige mængder, og de spiller ikke så pæne som vi vil. Vi tilslutter altid en vinkel til en trigonometrisk funktion som sinus eller cosinus. Lad os se, hvad der sker, hvis vinklerne havde dimensioner. Tag sinusfunktionen som et eksempel, og tilnær den ved hjælp af Taylor-serien:

$$ \ sin (x) \ approx x + \ frac {x ^ 3} 6 $$

Nu har vi sagt, at $ x $ har dimensioner af vinkler, så det efterlader os med

$$ [\ sin (x)] \ approx \ a + \ frac {\ a ^ 3} 6 $$

Bemærk, at vi skal tilføje $ \ a $ med $ \ a ^ 3 $, hvilket ikke giver nogen fysisk mening. Det ville være som at tilføje $ \ t $ med $ \ e $. Da der ikke er nogen vej rundt dette problem, kan vi lide at erklære $ \ sin (x) $ som værende dimensionsløs, hvilket tvinger os til at gøre en vinkel dimensioneløs.

Et andet eksempel på et lignende problem kommer fra polære koordinater . Som du måske ved, er linieelementet i polære koordinater givet af:

$$ \ ds ^ 2 = \ dr ^ 2 + r ^ 2 \ d \ theta ^ 2 $$

En matematiker har ikke noget problem med denne ligning, fordi han / hun ikke er ligeglad med dimensioner, men en fysiker, der er meget opmærksom på dimensioner, kan ikke sove om natten, hvis han / hun ønsker, at vinkler skal have dimensioner, for som du nemt kan kontrollere dimensionalanalysen brydes ned.

$$ [\ ds ^ 2] = \ l ^ 2 = [\ dr ^ 2] + [r ^ 2] [\ d \ theta ^ 2] = \ l ^ 2 + \ l ^ 2 \ cdot \ a ^ 2 $$

Du skal tilføje $ \ l ^ 2 $ med $ \ l ^ 2 \ cdot \ a ^ 2 $ og indstille den til $ \ l ^ 2 $, som du ikke gør inden for fysik. Det er som at tilføje tomater og kartofler. Læs mere om, hvorfor du ikke skal tilføje for forskellige enheder, dette spørgsmål og svar på det.

Resultat: Vi vælger at sige, at vinkler ikke har nogen dimensioner, fordi de ellers forårsager os for meget hovedpine, mens vi foretager en dimensionel analyse.

Din vens spørgsmål er opmærksomme, men ikke i strid med dit tidligere svar.

Når du sammenligner længden på noget med en enhed (1 meter), er forholdet faktisk et enhedsløst tal.

Men så er alle tal (1,5, $ \ pi $, 42) enhedsløse. Når du vil bestemme hastighed, opdeler du forskydning efter tid - hver af dem har enheder. Men hvad du indtaster i din lommeregner er bare tallene - du håndterer enhederne hver for sig.

"Løberen dækkede 100 meter på 10 sekunder. Hvad var hans gennemsnitlige hastighed?" Løses ved at beregne det numeriske forhold 100/10 og tilføje dimensioneringsforholdet m / s for at bevare enhederne. De fleste regnemaskiner har ikke (eller har brug for) et middel til at indtaste enheder (nogle sofistikerede computerprogrammer gør - for at hjælpe dig med at undgå fejl ved at blande enheder).

For nogle fysiske beregninger skal du tage logaritmen - når du gør det, skal du ALTID dele mængden med en eller anden skaleringsfaktor med de samme enheder, da det ikke er muligt at tage $ \ log $ for en enhed.

Det er muligt at udtrykke noget som et dimensionsløst tal. Vitruvius, en gammel forfatter, der skrev en overlevende bog om romersk arkitektur, afslører, at de gamle romere foretog deres hydrostatiske og arkitektoniske beregninger baseret på rationelle fraktioner, som er forhold mellem en størrelse med en anden.

Efter konvention og fordi arbejde med alle størrelser som forhold ville vise sig besværligt og vanskeligt, fysiske størrelser som længde, tid, hastighed, momentum, elektrisk strøm, tryk osv. udtrykkes i aftalte enheder.

En anden grund til at udtrykke fysiske størrelser som aftalte enheder er, at dimensionel analyse muligvis ikke er mulig, hvis alle fysiske størrelser blev udtrykt som forhold. Så at arbejde med enheder i stedet for forhold giver et andet værktøj til at kontrollere og validere fysiske ligninger, som skal have de samme dimensioner på venstre og højre side.

En artikel offentliggjort i Control Systems Magazine af Bernstein, et. al., december 2007, og en, der fokuserer på den algebraiske struktur af dimensionelle størrelser, argumenterer for, at vinkel ikke nødvendigvis skal betragtes som en dimensionsløs størrelse, men snarere som en dimensionsløs enhed - der tages højde for i en beregning. Artiklen udvider enhedsanalyse til matricer, lineære og statslige rumsystemer.

Desuden er der, i modsætning til hvad Floris siger, ingen grund til, at du ikke kan have ikke-lineære funktioner af enheder (f.eks. i at komme fra punkt A til punkt B. (Men du skal være opmærksom på singulariteter!) Du skal bare sørge for, når du kommer til punkt C, hvor C er en observerbar størrelse, at enhederne er transformeret til dem, der er fysisk meningsfuld. Algebraisk konsistens er det, der i sidste ende betyder noget.

Og i artiklens konklusion "Fysiske dimensioner er forbindelsen mellem matematiske modeller og den virkelige verden". Jeg har fundet ud af, at mange (i det mindste blandt ingeniører) ikke holder nok opmærksomhed på den kendsgerning.

Du skal kontrollere, om en mængde er skala-invariant eller mere generelt uforanderlig med hensyn til en enhedsændring. Vinkler har denne egenskab: de defineres som et længdeforhold, der begge skaleres i forhold til den geometriske figur. En ensartet udvidelse af en cirkel, kugle eller enhver anden geometrisk figur (svarende til at multiplicere vores længdeenheder med en konverteringsfaktor fra meter til fods fødder til Standard Snozfurgles) efterlader forholdet mellem to afstande mellem to par punkter uændret.

Det samme gælder ikke forholdet mellem en dimensioneret længde og enhedens længde. Repræsenter længden som et linjesegment på et koordinatdiagram. Udvid koordinatdiagrammet som ovenfor og se det krympe / vokse. Nu skaleres enhedslængden ikke på samme måde: den er defineret med en fysisk længde: en enhedsmålestang, et antal bølgelængder og så videre. Disse naturlige ting ændres ikke med vilkårlige udvidelser, vi vælger at foretage på vores koordinatsystemer.

Det er sandt, at længden kan udtrykkes som et forhold i forhold til 1 meter (eller en hvilken som helst anden enhed). Men selve denne enhed, dvs. ideen om "1 meter" i sig selv er ikke dimensionsløs. Hvad jeg mener at sige er, at enheden "1 meter" i sig selv ikke kan udtrykkes som et forhold mellem lignende størrelser med samme dimensioner; hvorimod "1 radian" kan udtrykkes som forholdet mellem buelængde på "1 meter" og radius på "1 meter".

"I den forstand er lige længde et forhold. Af længden af ​​den givne ting efter længden på 1 meter. Er længderne så dimensionelle?"

Nej, hvis de var hvor så kom 1 meter fra , hvorfor var det ikke 1 fod eller 1 mile?

Fordi længden er relativ, men vinklen er absolut.

(Der er sådan en ting som en maksimal vinkel, som du kan sammenligne med, men ikke en maksimal længde.)

Når der udføres dimensionel analyse, vil nogle udtryk have fysiske størrelser forbundet med dem (f.eks. tid, ladning og længde), nogle har størrelser og retninger (f.eks. kraft, drejningsmoment og afstand), og andre har ingen af ​​dem. Et par som hældning og rotation har indkapslede retninger, men ingen fysiske størrelser [hældning er et forhold mellem bevægelse i en retning og bevægelse i en anden, og er kun meningsfuldt i sammenhæng med disse retninger]. Generelt vil det være nødvendigt at kombinere en vektor associeret med udtrykket med en anden vektor i den virkelige verden, i en proces, der normaliserer deres længder i forhold til en enhedsvektor, når de anvendes på de virkelige verdensbetingelser, hvor kun retningen er meningsfuld. .

Antag for eksempel, at en søbund har en hældning på 75% i nord / syd retning, og nogen, der ønsker at rejse 4 meter nord langs overfladen, ønsker at vide, hvor meget dybere vandet vil være. Start med at dividere afstanden "4 meter nord" med en enhedsvektor i nordretningen, hvilket giver en længde på 4 meter. Multiplicer derefter længden med hældningen (0,75) og derefter med en enhedsvektor i retning nedad for at give en afstand på 3 meter nedad.

Bemærk at det er muligt at konvertere en afstand i summen af ​​to eller flere andre afstande i forskellige retninger, men afstande kan kun tilføjes, hvis de går i samme retning. Hvis nogen rejser 14,14 meter nordøst og derefter 14,14 meter nordvest, oversættes de til "10 meter nord plus 10 meter øst" og "10 meter nord plus -10 meter øst", hvilket giver et beløb på 20 meter nord.

Rotationsvinkler er lidt vanskelige, fordi anvendelse af rotation på et system vil ændre alle vektorerne deri, inklusive dem, der bruges til at definere rotation. De samme principper gælder stadig: længden af ​​rotationsvektorer er signifikant i forhold til længden af ​​en enhedsvektor. Da alle enhedsvektorer har samme længde (det defineres som nøjagtigt en), er det kun nødvendigt at definere enhedsvektorer i sammenhænge, ​​hvor retning er vigtig.

Meter refererer til noget ret fysisk. To personer skal være i stand til at måle noget, der kaldes en "meter", og være enige om, at de er de samme. NIST siger:

Måleren er længden af ​​den sti, der køres af lys i vakuum i et tidsinterval på 1/299 792 458 sekund.

Vinkler findes i enheder f.eks grad eller radian . $ 1 ^ \ circ $ er $ \ tfrac {1} {360} $ for en fuld rotation af en cirkel. Forhåbentlig kan vi alle være enige om, hvad det betyder. Muligvis ikke.

I SI-systemet med enheder er vinkler dimensionelle.Der er et system af enheder, hvor radianen er en særskilt basisenhed, og steradianen er en faktisk afledt enhed.Se https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC61354/.

Vinkler indeholder ingen oplysninger om placering i rumtid.