Det problem, du tænker på, er kendt som spørgsmålet om termodynamisk grovkornning . Dette vil forhåbentlig give dig en sætning, som du kan søge på for at finde ud af mere.

Nogle gange er mulige tilstande for ensemblemedlemmer åbenlyst diskrete, da de er i en samling kvanteharmoniske oscillatorer. Meget af kvantemekanikken afhænger af, at det underliggende Hilbert-tilstandsrum er adskillelig ( dvs. har en tællelig tæt delmængde), og for Hilbert-rum svarer dette til påstanden om, at selve vektorbasis kan tælles. Så selvom en observerbar som momentum eller position har et kontinuerligt spektrum ( dvs. kan give en kontinuerlig tilfældig variabel som en måling), er det underliggende tilstandsrum ofte diskret. I OP'ernes særlige eksempel kan du modellere gassen som et system af partikler i en 3D-kasse (hat tip til bruger knzhou for at minde mig om dette punkt), så tilstandsrummet for ensemblemedlemmer er klart diskret. Når vi hæver lydstyrken på vores boks, stiger tætheden af ​​stater (diskuteret mere i Chris svar) i forhold til boksens rumlige volumen, og derfor gør entropien det også. I grænsen for et meget stort gasvolumen er entropien pr. Volumenhedsenhed en veldefineret, endelig grænse.

I tilfælde hvor statsrummet ikke er åbenlyst diskret, skal man ty til brugen af ​​grovkorn eller relativ entropi.

Grovkorn er den noget vilkårlige opdeling af ensemble-medlemmers statsrum i diskrete undergrupper, hvor stater, der tilhører en given partition, derefter anses for at være de samme. Således samles et kontinuerligt tilstandsrum i en diskret tilnærmelse. Mange konklusioner fra statistisk mekanik er ufølsomme over for en sådan sammenklumpning.

Relativ entropi defineres i informationsteoretisk forstand for en kontinuerlig tilfældig variabel som en grov entropiændring i forhold til en eller anden "standard" kontinuerlig tilfældig variabel, såsom en styret af en Gaussisk fordeling . Vi ser det problem, du har at gøre med, hvis vi naivt prøver at finde ud af Shannon-entropien for en kontinuerlig tilfældig variabel med sandsynlighedsfordeling $ p (x) $ som grænsen for en diskret sum:

$$ S \ approx - \ sum \ limits_i p (x_i) \, \ Delta x \, \ log (p (x_i) \, \ Delta x) = - \ log (\ Delta x) \, \ sum \ limit_i p (x_i) \, \ Delta x - \ sum \ limits_i p (x_i) \, \ Delta x \, \ log (p (x_i)) \ tag {1} $$

De to summer i det yderste udtryk konvergerer OK, men vi modvirkes af faktoren $ \ log (\ Delta x) $, som naturligvis divergerer. Men hvis vi tager forskellen mellem entropien for vores $ p (x) $ og en "standard" fordeling, giver vores beregning:

$$ \ Delta S \ approx - \ log (\ Delta x) \, \ left (\ sum \ limits_i p (x_i) \, \ Delta x- \ sum \ limits_i q (x_i) \, \ Delta x \ højre) - \ sum \ grænser_i \ venstre (p (x_i) \, \ log (p (x_i)) - q (x_i) \, \ log (q (x_i)) \ højre) \, \ Delta x \ tag {2} $$

en mængde, der konvergerer til $ \ int \ left (p \ log p - q \, \ log q \ right) \ mathrm {d} x $. Den sædvanlige relative entropi er ikke helt den samme som denne definition (se artikler - definitionen er ændret for at gøre målingen uafhængig af reparameterisering), men dette er den grundlæggende idé. Ofte droppes konstanterne i grænsen på (2), og man ser størrelsen $ - \ int \, p \, \ log p \, \ mathrm {d} x $ defineret som den ukvalificerede (relative) entropi af fordelingen $ p (x) $.

Grovkornning, i denne beregning ville det blot være at vælge en konstant $ \ Delta x $ i (1). (1) er derefter omtrent den relative entropi $ - \ int \, p \, \ log p \, \ mathrm {d} x $ opvejet af den konstante $ - \ log (\ Delta x) $. Derfor, så længe:

1. Vi holder fast med en konstant $ \ Delta x $ i en given diskussion;
2. $ \ Delta x $ er lille nok i forhold til variationerne i sandsynlighedstætheden, så $ \ sum \ limits_i p (x_i) \, \ Delta x \, \ log (p (x_i)) \ approx \ int p\, \ log p \, \ mathrm {d} p $;
3. Vores beregninger og fysiske forudsigelser har kun at gøre med forskelle mellem entropier (som det mest er tilfældet)

så giver tilgangen til grovkorn og relative entropier identiske fysiske forudsigelser uafhængigt af den nøjagtige valgte $ \ Delta x $.

En god gennemgang af disse ideer med historisk diskussion findes i:

Katinka Ridderbos, "Den grovkornende tilgang til statistisk mekanik: hvor salig er vores uvidenhed?", Studies in History and Philosophy of Modern Physics , 33, pp65-77, 2002

I et kontinuerligt system anses $ w $ for at være en integreret del af systemets mulige mikrostater.Dette kaldes typisk densitet af stater og er ret endeligt.Specifikt er det noget som $$ w (E) = \ mathcal N \ int d ^ {3N} x ~ d ^ {3N} p ~ \ delta (E- \ epsilon (\ vec p, \ vec x)) $$

hvor $ \ epsilon (\ vec p, \ vec x) $ er systemets energi som en funktion af alle momentaer og positioner, $ \ delta $ er en delta-funktion, der fikserer systemets energi og $\ mathcal N $ er en vis normalisering.

Dette efterlader en vis tvetydighed (nemlig i normaliseringen), men forholdet mellem $ w $ mellem to stater er veldefineret, så $ \ Delta S = k \ ln (\ frac {w_f} {w_i}) $er veldefineret, og tvetydigheden løses ved at definere entropi til at være nul ved absolut nul, hvilket giver normalisering at bruge.

Jeg råder dig til at se på enhver lærebog i Statistisk mekanik. Dette punkt behandles normalt i de første kapitler. Du vil beregne den mikrokanoniske entropi $$ S (E) = k_B \ ln \ Omega (E) $$ hvor $ \ Omega (E) $ tæller antallet af mikrostater med energi $ E $. Som du påpegede, er dette tal uendeligt, hvis koordinaterne er kontinuerlige. Standardmetoden er at diskretisere faseområdet og opdele det i celler. Hver celle antages at svare til en enkelt mikrotilstand. For $ N $ -partikler i et 3D-rum er fasearmets dimension $ 6N $. Bredden på en celle vælges til at være $ \ Delta q $ i $ 3N $ retninger tilknyttet koordinater og $ \ Delta p $ i $ 3N $ retninger tilknyttet momenta. Det antages derefter, at $$ \ Delta q \ Delta p = h_0 $$ Nu er antallet af stater $ \ Omega (E) $ med energi $ E $ endeligt, og du kan beregne den mikrokanoniske entropi. Dette er et specielt tilfælde af grovkornning nævnt i de foregående svar.

Fordelen ved denne fremgangsmåde er, at du let kan estimere $ \ Omega (E) $, antallet af celler af energi $ E $, som volumen $ Vol $ i faseområdet svarende til en energi $ E $ delt af volumen $ h_0 ^ {3N} $ af en celle (jeg forenkler lidt her: hvad der først skal beregnes, er faktisk volumenet af faseområdet svarende til en energi lavere end $ E $). Dette skøn er kun nøjagtigt, hvis $ h_0 $ er valgt tilstrækkeligt lille. Se hvad der sker med entropien: da $ \ Omega (E) = Vol / h_0 ^ {3N} $, læser entropi $$ S (E) = k_B \ ln Vol-3Nk_B \ ln h_0 $$ Parameteren $ h_0 $ vises kun som en additivkonstant. Da termodynamiske gennemsnit er givet af derivater af entropien, afhænger de ikke af $ h_0 $ (forhåbentlig da diskretiseringen af ​​faseområdet ikke er fysisk), og du kan give nogen værdi til $ h_0 $, så længe det forbliver tilstrækkeligt lille. Normalt gives der ingen bestemt værdi til $ h_0 $.