Spørgsmål:
Kan vi med sikkerhed antage $ \ Psi (x, t) = \ psi (x) e ^ {- i \ omega t} $ altid i QM?
Rajesh Dachiraju
2013-12-26 08:55:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

I partiklen i en kasse, harmonisk oscillator og i Hydrogen Atom kan vi sikkert antage $$ \ Psi (x, t) = \ psi (x) e ^ {- i \ omega t}. $$ Så hvorfor ikke gør det til et postulat at betragte bølgefunktionen som altid i formen $$ \ psi (x) e ^ {- i \ omega t} $$ Vi kan stadig forklare alle de grundlæggende eksperimenter, så mit spørgsmål er hvorfor ikke lave denne ændring af teorien, så vi kan undgå mange mareridt og lidt ro i sindet. Hvorfor unødigt overveje så generelle ting, når vi kan fjerne almindelige ting mest af tiden?

Åh mit egentlige spørgsmål er, hvor løber vi ind i problemer (praktiske fysiske situationer / eksperimenter), hvis vi overvejer en sådan ting ? Hvis vi støder på problemer hvor som helst, håber jeg at foretage andre enkle ændringer for at rette dem, men uden at gå tilbage på denne.

Fire svar:
Stan Liou
2013-12-26 09:01:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det er ikke generelt. For både den harmoniske svingning og brintatomet har vi en hamitlonisk $ \ hat {H} = - \ frac {i \ hbar} {2m} \ nabla ^ 2 + V $ med et tidsuafhængigt potentiale, hvilket antydede, at egenværdi ligning $ \ hat {H} \ Psi (x, t) = E \ Psi (x, t) $ kan adskilles, og vi kan derfor skrive det som et produkt af en tidsuafhængig faktor og en pladsuafhængig faktor.

Med andre ord, $ \ Psi (x, t) = \ Psi (x) e ^ {- i \ omega t} $ er noget, vi får for energi-egenstaterne med en tidsuafhængig Hamilton. En generel løsning er en superposition af flere energi-egenstater og vil ikke have den form.

Du siger tidsuafhængig Hamilton, og på samme tid involverer flere Energy eigen-tilstande, så mit spørgsmål er, hvad er den samlede energi, der er bevaret i en sådan Schrodinger-ligning?
@RajeshD det ville være forventningsværdien af ​​Hamiltonian.
@DavidZ: Disse er igen konstrueret og kræves ikke rigtig fra Schrodingers ligning eller fra energibesparelse. Som jeg forstår, er disse multiple egenenergier indlejret i bølgefunktionen, og de genereres ikke af potentialet V (x) eller fra Hamiltonian, ikke?
Hvad jeg mener er, at disse er oprettet og ikke følger direkte fra Schrodinger-ligningen.
@RajeshD: Nej. Egenværdiernes energi er spektret af Hamiltonian og genereres således direkte af det. Især $ \ hat {H} \ Psi_n = E_n \ Psi_n $. Da Schrödinger-ligningen er lineær, er enhver superposition af egenstaterne en løsning, og det faktum at dække * alle * løsninger følger af Hamilton-eremitikken.
Yup, som Stan siger, inducerer Hamiltonian et sæt stationære tilstande på nøjagtig samme måde som hvordan egenvektorerne og egenværdierne i en firkantet matrix er ting, der er bundet direkte til den matrix. Bølgefunktionerne følger direkte fra Schrodinger-ligningen, uanset hvilket problem der er ved hånden, når du løser det.
@StanLiou: Ah nu ser jeg, der er mange mulige energier til forskellige kvantetal, og linjekombination (ganget med energiværdier) af tilsvarende tilstandsfunktioner er også en løsning på SE. Så fjollet af mig, men den forvirring eller misvisende opståen som følge af det faktum, end de fleste af teksterne og webstederne ikke faktisk nedskriver den generelle løsning, som er en lineær kombination.
Kyle Kanos
2013-12-26 09:12:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

En anden, som endnu ikke nævnt, er grunden til superposition.

For adskillelse af variabler teknikker finder vi $ \ Psi (\ mathbf {x}, t) = \ psi (\ mathbf {x}) f (t) $ for at give $$ \ frac {i \ hbar} {f (t)} \ frac {df} {dt} = E = \ venstre [\ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + V (\ mathbf {x}) \ højre] \ psi (\ mathbf {x}) \ tag {1} $$ Udtrykket i venstre side giver $ f \ propto \ exp \ left [iEt / \ hbar \ right] $, hvilket giver os $$ \ psi \ left ( \ mathbf {x}, t \ right) = \ psi (x) e ^ {iEt / \ hbar} \ tag {2} $$ Men dette er en stationær tilstand, men partiklen som ligning (1) beskriver er ikke stationær. Således har vi, at generel løsningen er en lineær superposition af tilstande: $$ \ psi \ left (\ mathbf {x}, t \ right) = \ sum_ic_i \ psi_i (x) e ^ {iE_it / \ hbar} $$

Som ikke kan adskilles i en sådan form som ligning (2).

Ja, selv med en tidsuafhængig Hamilton er kun egenfunktionen generelt tidsuafhængig.
Hvad er den samlede energi i et sådant system, i dette tilfælde?
Dette er stort set det samme svar som Stan Lious. Jeg er ikke kritisk, +1: det er et godt svar, og det er altid godt at have flere forklaringer på det samme (forskellige skrivemåder passer til forskellige sind): Jeg laver bare kommentaren, så andre læsere ikke får forvirrede og er tydelige på, at de er meget ens svar.
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Jeg ser det nu. Jeg antager, at jeg ikke havde læst den sidste sætning i hans svar.
@Kyle: Du siger tidsuafhængig Hamiltonian og involverer samtidig flere energitilstandstilstande, så mit spørgsmål er, hvad er den samlede energi, der bevares i en sådan Schrodinger-ligning?
@KyleKanos Ingen problemer: som jeg sagde: Efterlad dit svar, da det er godt og helt sikkert kunne være nyttigt for nogen, der kommer til at forstå alt dette som nyt materiale.
@RajeshD Den samlede energi defineres ikke entydigt, når systemet er i en blandet tilstand. En måling af energien ville ændre det (og du ville få hver $ E_i $ med sandsynlighed $ | c_i | ^ 2 $), men det ville også ændre tilstanden til at være den tilsvarende egenstat.
@dmckee: Sikkert mente du en ikke-stationær tilstand eller overlejring af energi egenstater. Her har vi at gøre med rene tilstande, og selvom de som standard også er blandet tilstand, kan en blandet tilstand have en entydigt defineret energi ($ \ rho = | E_n \ rangle \ langle E_n | $, siger).
@dmckee: Dette er meget oplysende, kan du give mig en god reference eller et eksempel?
@RajeshD: dmckees udsagn, hvis den forstås som henvisende til superpositioner, følger direkte fra Born-reglen.
Ja superpositioner. Tilgiv mit sjusket sprog.
@Stan Liou: og dmckee: Igen er disse konstrueret og ikke rigtig krævet af Schrodingers ligning eller fra bevarelse af energi. Som jeg forstår, er disse multiple egenenergier indlejret i bølgefunktionen, og de genereres ikke af det potentielle $ V (x) $ eller fra Hamiltonian, ikke?
Du fortsætter med at bruge ordet "konstrueret". Hvad tror du det betyder? Egenstaterne og deres spektrum er en konsekvens af Hamiltonian. Hvis du har en superposition, betyder det, at du ikke kender statens energi. Der er ingen overraskelse, at du ikke så ved, hvilken energi du får, hvis du måler energien. Dette er en tautologi.
@RajeshD: Schrödingers ligning er lineær, så enhver superposition af løsninger er en løsning. Således har du næsten aldrig kun en egenstat til en * generel løsning * af SE. Bevarelse af energi følger af Hamiltonians tidsuafhængighed, men ellers vil den ikke holde. Forbindelsen til sandsynligheder for måleresultater er, og hvad der sker efter måling, kræves ikke af SE, men af ​​Born-reglen. Og som dmckee sagde, energi-egenværdierne er spektret af Hamiltonian.
@dmckee: aftalt. Jeg forstår det nu.
Jeg har kigget på nogle andre ressourcer om dette emne, og jeg spekulerede på, om du kunne forklare, hvorfor der ikke er noget negativt i din "f", som andre kilder siger, at det er e ^ -iE ...
dmckee --- ex-moderator kitten
2013-12-26 09:01:12 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kun når $ V (\ mathbf {x}, t) = V (\ mathbf {x}) $, ellers adskiller den tidsafhængige Schrödinger-ligning ikke sig i tids- og rumlignende dele.

Enhver eksplicit tidsafhængighed i problemet, og du kan ikke.

Denne erklæring og svaret fra Stan Liou skal være præget på hver QM-tekstbog med en stor skriftstørrelse på omslaget. Bare for at de studerende skal slappe af og også det faktum, at vi aldrig går efter de tidsafhængige potentialer. Alle begynder at skrive $ \ Psi (x, t) $, som de aldrig vil bruge, bare for at skræmme folk!
@RajeshD: Dårlige nyheder: tidsafhængig forstyrrelsesteori er temmelig standard for undergrad QM. Selvom $ \ hat {H} $ er tidsuafhængig, støder du stadig på situationer, hvor du har brug for en ikke-stationær tilstand.
Matthew Titsworth
2013-12-26 09:09:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

I en anden retning end de andre svar, betragtes et eksempel på fysisk et problem, hvor løsningen ikke kan adskilles, i Sakurai 2. udgave, kapitel 2.1, s. 70 og 71, hvor vi har et magnetisk spinmoment i nærværelse af et magnetfelt, hvis intensitet kan ændre sig med tiden dvs. $ B (t) \ neq B (0) $, eller endnu mere problematisk, når magnetfeltets størrelse og retning ændrer sig med tiden. I begge tilfælde er Hamiltonian tidsafhængig, og løsningen kan derfor ikke adskilles.



ⓘ
Denne spørgsmål og svar blev automatisk oversat fra det engelske sprog.Det originale indhold er tilgængeligt på stackexchange, som vi takker for den cc by-sa 3.0-licens, den distribueres under.
Loading...