Der er en ren geometrisk definition af Einstein tensor $ G _ {\ mu \ nu} $ i form af derivater af metricen.Uafhængig af enhver fysik.

Ligeledes, givet en feltteori, kunne du i princippet beregne stressenergitensoren.

GR er en fysisk teori, der kobler geometrien gennem Einstein-tensoren til stofindholdet via stressenergitensoren.Der er andre selvkonsistente teorier, som parrer geometri til at have betydning på forskellige måder.I denne forstand er ligningen $ G = 8 \ pi T $ modelafhængig.Ligesom den ideelle gaslov $ PV = NRT $, som kun gælder for ideelle gasser, ikke interagerende gasser.

For at belyse et potentielt svar på dit spørgsmål er det nyttigt at overveje Einstein-feltligningerne i sammenhæng med feltteori.Handlingen

$$ S = \ frac {1} {16 \ pi G} \ int d ^ 4 x \, \ sqrt {| g |} \, R + \ int d ^ 4x \, \ sqrt {| g |} \, \ mathcal L_M $$

giver anledning til Einstein-feltligningerne gennem princippet om stationær handling, med en højre side svarende til den sædvanlige symmetriske definition af stressenergitensoren i en feltteori beskrevet af $ \ mathcal L_M $.I denne sammenhæng kan vi tænke på,

$$ R _ {\ mu \ nu} - \ frac12 g _ {\ mu \ nu} R = 8 \ pi G \, T _ {\ mu \ nu} $$

som værende ligningsbevægelser for metricen, og eventuelle felter i $ \ mathcal L_M $ koblet til tyngdekraften.Så det er ikke så meget, at stressenergi er krumning, men snarere felterne (eller andre størrelser), der bidrager til stressenergien, er koblede til tyngdekraften.

Kort svar:

• Hvis du kan lide det, kan du sige, at Einstein-feltligningerne definerer den aktive gravitationsmasse (eller mere præcist den aktive tyngdekraftsmasse-energi-momentum-stress).

• Men aktiv tyngdemasse er lig med inerti og passiv tyngdemasse, så dette gør EFE mere end en definition.

• EFE indeholder også alle former for information, der ikke har noget at gøre med kilder. For eksempel siger de, at visse vakuumfelter ikke er mulige, og de forudsiger eksistensen af ​​tyngdebølger.

• Der er nogle uklarheder, der spiller ind i tilfælde af mørk energi.

Langt svar:

Einstein-tensoren $ G $ er målbar. For eksempel når jeg smider en blyant og ser, hvor lang tid det tager at ramme jorden, finder jeg ud af noget om Riemann-tensoren i et bestemt område af rummet. Ved at foretage tilstrækkelige målinger kan jeg måle hele Riemann-tensoren og derefter bestemme $ G $. Dette udgør en operationel definition på $ G $. Vi kunne definere $ G $ på en anden måde, men det behøver vi ikke, det virker uønsket, og ingen gør det.

Einstein-feltligningerne relaterer Einstein-tensoren til stressenergitensoren. I den ikke-relativistiske grænse svarer dette simpelthen til den newtonske ligning $ g = Gm_a / r ^ 2 $, som relaterer den aktive tyngdemasse $ m_a $ til tyngdefeltet. Dette kan tages som definitionen af ​​aktiv tyngdemasse i Newtons fysik, og der er ingen anden måde at definere den på. Dette gør dog ikke Newtons tyngdelov til en tautologi eller en definition, fordi i Newtons tyngdekraft er den aktive tyngdemasse strengt lig med både den passive tyngdemasse og den inertiale masse. Da vi har andre typer eksperimenter, der kan måle inertimasse, er der ingen cirkularitet involveret. Desuden specificerer Newtons tyngdekraft feltets afstandsafhængighed, hvilket ikke er et spørgsmål om definition. Denne $ 1 / r ^ 2 $ -form af kraftloven resulterer for eksempel i forudsigelse af elliptiske baner.

På samme måde defineres den aktive tyngdemasse (eller mere præcist aktiv tyngdemasse-energi-momentum-stress) i GR som $ G / 8 \ pi $, og der er ingen anden måde at definere den på. Dette gør dog ikke Einstein-feltligningerne tautologiske eller et spørgsmål om definition af de samme grunde som i den newtonske teori.

Bemærk, at i GR er lighed mellem inertiale, aktive og passive tyngdekraftsmasser ikke kun et valgfrit træk som i Newtons tyngdekraft. Hvis nogen af ​​disse ligheder mislykkes, bliver GR forfalsket og kan ikke løses ved at tinkere. (F.eks. Er det en sætning i GR, at testpartikler følger geodesik.)

Et sted, hvor jeg synes, det bliver lidt vanskeligere at lave korrekte operationelle definitioner, er i tilfælde af mørk energi.Vi har ingen måde at måle inerti eller passiv tyngdemasse af mørk energi.Dette er grundlæggende fordi vores model af mørk energi er en kosmologisk konstant, og Einstein-feltligningerne ikke tillader os at lave løsninger, hvor den kosmologiske konstant varierer fra punkt til punkt.Sådanne løsninger overtræder altid feltligningerne.Derfor er den kosmologiske konstant normalt modelleret som en konstant - den har ingen dynamik.(Du kan have en dynamisk mørk energi, men det kræver noget mere detaljeret end bare at lade $ \ Lambda $ variere.)

Denne mangel på dynamik i $ \ Lambda $ forhindrer os i at måle mørk energis inertiale eller passive tyngdekraftsmasse.Af denne grund er det ikke ualmindeligt at se forskellige mennesker foretage forskellige valg om, hvorvidt den mørke energistykke skal medtages som en del af stressenergitensoren.

Jeg er ikke sikker på den sondring, du trækker mellem 'proportionalitet' og 'definitionsidentitet' specielt i de eksempler, du bruger.

For eksempel kan man argumentere for, at $ PV = nk_BT $ kun er en definition af tryk (hvorfor ikke?), på samme måde som $ F = ma $ bruges til at definere kraft. Det interessante er, at disse begreber er i overensstemmelse med andre elementer i teorien, for eksempel kan du også se, at hvis du placerer gassen i kammeret i området $ A $, er kraften, som en side af kassen oplever, $ F = PA $. Ifølge dit argument ville dette sidste udtryk automatisk ændre etiketten på $ PV = nk_BT $ fra definition til proportionalitet.

Med dette i tankerne, hvis du definerer både $ G $ og $ T $ på en eller anden måde og viser, at $ G = 8 \ pi T $, ville det i lyset af dit argument være en simpel proportionalitet. Hvis du derimod aldrig definerede en af ​​dem, kunne du tage dette udtryk som en definition. Det viser sig, at disse udtryk er defineret separat, og Einsteins ligninger er et resultat af teorien. Men igen kan du argumentere for, at dette er en definition og derefter vise, at de andre tilfælde, hvor $ G $ vises i teorien, er proportionaliteter.

Endelig vil jeg gerne kommentere dit sidste udsagn. Jeg mener bestemt, at ordet lov ikke er så sort-hvid som du antager. For at give dig et eksempel,

$$ {\ bf F} = - \ frac {GMm} {r ^ 2} \ hat {\ bf r} $$

er kendt som loven om tyngdekraft , mens

$$ G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi T _ {\ mu \ nu} $$

er mærket som teorien om generel relativitetsteori , som i det væsentlige er tyngdekraften, men på en eller anden måde dedikerede vi ikke at bruge ordet lov længere. Hvorfor? Jeg tror, ​​det er bare en historisk grund, der afspejler det faktum, at vi på et tidspunkt indså, at love kan være forkert

NejAf den enkle grund, at der er rum-tid-krumning uden nogen spændingsenergi.

Schwarzschild-opløsningen er en vakuumopløsning.Overalt, hvor løsningen holder, er stressenergien nul, men rumtiden er buet.De berømte eksperimenter, der viser stjernelys "bøjning", når de passerer nær solen, eller fjerne galakser tyngdekraftlinse, tilnærmes med vakuumligninger uden for kilderne.

Einsteins feltligninger udtrykker kun Ricci-krumningen.Den fulde krumning er givet af den Riemannske krumning.

Jeg vil gerne tilføje følgende noter til hovedsagelig Mr. Vejret er godt svar.

Einstein-tensoren har en bestemt geometrisk betydning uafhængig af fysikken; der er to fysikuafhængige betydninger, som vi skal tage hensyn til:

1. Dens afvigelse forsvinder, idet den første Bianci-identitet er klar. Denne kendsgerning er et udtryk for det geometriske forhold $ \ partial ^ 2 = \ emptyset $ - grænsen for grænsen for et sæt er altid det tomme sæt. Dette er en intuitiv grund til, at vi kan "koble" Einstein-tensoren til stressenergien $ G \ propto T $: divergensen af ​​$ G $ forsvinder gennem geometrien, og dette tvinger divergensen af ​​$ T $ til at være intet. I "tilslutning" af geometri for at stresse energi på denne måde tvinger vi teorien til at indkode lokal bevarelse af energimomentum gennem en grundlæggende, enkel geometrisk kendsgerning;

2. For at besvare dit titelspørgsmål: "bestemt ikke!" Einstein ligningen bestemmer Ricci tensoren, og denne tensor koder kun for hypervolumen forvrængning som jeg diskuterer nærmere i mit svar her. Den fulde Riemann-krumningstensor har yderligere frihedsgrader, der ikke er fastsat af Einstein-ligningen; disse yderligere frihedsgrader koder for formforvrængning gennem Weyl-tensoren. Grænseforhold er nødvendige yderligere for at stresse energi for fuldt ud at definere Riemann - Jeg diskuterer, hvordan Riemann nedbrydes i Ricci og Weyl tensorer, derefter til Ricci + Schouten tensor + Grænseforhold i mit sammenkædede svar ovenfor. Disse frihedsgrader, der ikke er specificeret af selve Einstein-ligningen, er, hvad der blandt andet tillader tyngdebølger at forplante sig i vakuumet, og tillader også alle mulige interessante vakuumløsninger til Einstein-ligningerne, såsom Calabi-Yau-manifolder eller endda noget som "hverdagslige" som Schwarzschild og andre sorte hulløsninger væk fra singulariteten.